00000032.htm

PREFACE. XXXI

les recherches de M. Heine etde M. ChristofFel avaient mon-
tre les rapports de la theorie des fractions continues avec cer-
taines equations different! elles lineaires du second ordre.
Herrnite etend tous ces resultats en montrant comment une
certaine equation lineaire d'ordre n -j- i , generalisant Pequa-
tion de Gauss, se lie aux modes d'approximations simultanees
dont il avait donne une application dans son Memoire Sur la
fonction exponentielle ; il etend ainsi, pour ne citer qu'un
exemple, le resultatde Gauss, en developpant n logarithmes

de la forme log^— ^(z ~ j , 2, ..., //) en fractions conti-

& - ZQ

riues, ce qui le conduit a generaliscr a un point de vue tres
interessant les polynomes de Legendre.

Nous avons d(ija eu Poccasion de dire que la theorie des
fractions continues arithmetiques peut se generaliser de di-
verses manieres. De meme, la theorie des fractions continues
algebriques peut etre etendue clans des directions differentes.
Leprobleme suivant paraissait a Hermite de grancle impor-
tance et Pa souvent preoccupe : ctant donnees n series S₀S₂, . . ., S_7A procedant suivant les puissances croissantes de #,
determiner les polynomes X₀ X_a, ..., X_/t de degres '[JL_O[ji₂, . . ., [jL_n de maniere a avoir pour la sornrne

une approximation d'ordre ^ -4- . , . -h [x_;t •+- // — i . II en
donne une solution tres simple dans le cas ou les S sont des
exponentielles e^el®, et reussit clans le cas general, pour /*•== 3,
a trouver un algorithme conduisant au resul tat cherche sans
avoir de systernes cl'equations i resoudre. Ghemin faisant, il
traite, mais d'une tout autre manure, le probleme suivant,
resolu par Tchebycheff et analogue & un probleme d^ji men-
tionn^ d'Arithm6tique : Trouver deux polynomes X et Y de



	PREFACE. XXXI les recherches de M. Heine etde M. ChristofFel avaient mon- tre les rapports de la theorie des fractions continues avec cer- taines equations different! elles lineaires du second ordre. Herrnite etend tous ces resultats en montrant comment une certaine equation lineaire d'ordre n -j- i , generalisant Pequa- tion de Gauss, se lie aux modes d'approximations simultanees dont il avait donne une application dans son Memoire Sur la fonction exponentielle ; il etend ainsi, pour ne citer qu'un exemple, le resultatde Gauss, en developpant n logarithmes de la forme log^— ^(z ~ j , 2, ..., //) en fractions conti- & - ZQ riues, ce qui le conduit a generaliscr a un point de vue tres interessant les polynomes de Legendre. Nous avons d(ija eu Poccasion de dire que la theorie des fractions continues arithmetiques peut se generaliser de di- verses manieres. De meme, la theorie des fractions continues algebriques peut etre etendue clans des directions differentes. Leprobleme suivant paraissait a Hermite de grancle impor- tance et Pa souvent preoccupe : ctant donnees n series S₀S₂, . . ., S_7A procedant suivant les puissances croissantes de #, determiner les polynomes X₀ X_a, ..., X_/t de degres '[JL_O[ji₂, . . ., [jL_n de maniere a avoir pour la sornrne

	une approximation d'ordre ^ -4- . , . -h [x_;t •+- // — i . II en donne une solution tres simple dans le cas ou les S sont des exponentielles e^el®, et reussit clans le cas general, pour /*•== 3, a trouver un algorithme conduisant au resul tat cherche sans avoir de systernes cl'equations i resoudre. Ghemin faisant, il traite, mais d'une tout autre manure, le probleme suivant, resolu par Tchebycheff et analogue & un probleme d^ji men- tionn^ d'Arithm6tique : Trouver deux polynomes X et Y de