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4 OEUVRES DE CHARLES HERMITE.
Solent done <p et fy deux fonctions quelconques semblables des
racines d'une Equation, et supposons qu'en permutant les racines de toutes les mani&res possibles, la fonction <p ait n valeurs repre- sente"es par
<flj «p87 <f3, -••; <P»~1> ?«5
les valeurs correspondantes de ^ sont
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II est evident, par la theorie des Equations, que les n valeurs
de <p sont racines d'une Equation de degre" n, qu'on obtient en effectuant le produit des facteurs |
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FO) = (a? — <pi)(a?— «pa)(a?— ?s) • • - #— ?»-!)(#—?») = o,
et, par les formules des fonctions sjm^triques, on connait les
coefficients de cette Equation. On a de m£me
/(a?) = (a? — ^) (ar — tp2) . . . (a? — ^-i) (a? — <p«) = o ;
designons par F^cp^, F^cpo), ..., les valeurs successives de la
derive'e de F(#), en remplagant ^ par y1 , <pa, . . ., cp;l. Formons la fonction suivante du degr6 n — r |
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-F(ar)
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F(ar)
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(w—c
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et, par la th6orie des fonctions syme'triques, les coefficients de
cette fonction sont donne*s en fonction des coefficients de X . = o? car on reconnait facilement que les racines de liquation X =. 'o y entrent sous forme invariable; done ic(#) est une fonction ration- nelle de x. Faisant dans cette identite* x = cp^ , le premier membre
se re'duita son premier terme, carle quotient
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lorsque x=®^ et tous les autres termes s'dvanouissent
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on
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suppose d'ailleurs tous les facteurs in^gaux; done
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de m&me
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L. = 7t(cpo),
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C, Q. F. I).
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