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LETTRES DE M. CHARLES HERMITE A M. JACOBI. 3l
J'introduirai pareillement les variables u et 9 dans les fonctioas de
seconde espece, savoir : |
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rix*dv y*dy\ C/
J ( ^ ~h ^r ) et J (
elles deviendront respectivement
/ [(X0 -4- Xi ) dv — X0 X! du] ,
/"[ |
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Gela pose? la premiere 6tant d^sign^e pour tin instant par (u^ p), ,
et la seconde par (#, p)2, je ferai |
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pB(K, p)s et EJ(M, P) ~ pi(
on aura alors le th6or£me exprim^ par 1'^galit^ suivante :
(i) an(a, P, a, p) — an(qt, p, a, P) |
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) — «»Ej(*, p),
cle laquelle se tirent les valeurs des fonctions completes. Prenons
en effet pour u et P deux demi-p^riodes sianultan^es /, y, les va- leurs correspondantes de x et j/ donneront A(#) = o, A(j^) = o ; ainsi 1'on aura
aH(W,a, p)==^8(*/' — POH-a^^^H-pEBC^yJ-ifEtCa, p)-yE2(a, p).
On remarque sur cette expression un singulier genre de disconti-
nuit^ de la fonction II. En effet, les arguments w, P, 6tant quel- conques, il est hors de'doute que Ton peut, sans alt6rer sa valeur, ajouter les p^riodes simultan^es aux arguments a, ^; mais si Ton suppose u = i, v=J9 la fonction deviendra uniquement p^riodique pour ces indices ; c'est ce que Ton v^rifie ais^ment sur la valeur pr^cedente.
L'^galit6 (i) peut 6tre transform^e en tine aiitre plus simple.
Posons
ZI(K, v) = EI(M, P) — AM — -B^, ZS(M, P) — Es(tt, P) — Afu — BV
et d^terminons A, B, A!, B^, par les conditions
Ai-f-By =E,(i, y), A^H- B/ = Et(^, /),
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